Her er altså integrasjon definert som den omvendte operasjonen til derivasjon, og det er derfor også vanlig å kalle funksjonen F for den antideriverte til f. Integralbegrepet kan imidlertid også gis en annen tolkning, nemlig som grenseverdien for en sum (integraltegnet ʃ er dannet av en lang S, som står for summa, sum). Det er denne tolkningen som gir den umiddelbare tilknytning til de beregninger som er nevnt foran, av areal, volum, masse og så videre. La f være en kontinuerlig funksjon som antar bare positive verdier mellom a og b, og la x0, x1 ..., xn være slik at a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. Hvis M1 betegner den største verdi av f i intervallet [x0, x1] og m1 den minste verdi i samme intervall, og tilsvarende M2 og m2 den største og minste verdi av f i intervallet [x1, x2] og så videre, vil summen S = M1(x1 – a) + M2(x2 – x1) + ... + Mn(b – xn–1) være større enn eller lik summen s = m1(x1 – a) + m2(x2 – x1) + ... + mn(b – xn–1).
Man kan her vise at forskjellen mellom S og s kan gjøres så liten man bare vil ved å velge oppdelingen av intervallet [a, b] tilstrekkelig fin, det vil si ved å gjøre hvert av delintervallene tilstrekkelig korte. Dette betyr at S og s nærmer seg samme grenseverdi når vi går til stadig finere oppdelinger av intervallet [a, b]. Denne felles grenseverdien kaller vi det bestemte integral av f fra a til b, og vi skriver \[I = \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x\].
Geometrisk vil integralet I representere det areal som er begrenset av x-aksen, ordinatene i a og b og kurven y = f(x).
Den grunnleggende sammenhengen mellom differensialregningen og integralregningen ytrer seg gjennom følgende to fakta: Om integralet I betraktes som en funksjon av høyre endepunkt b av intervallet [a, b], vil den deriverte av denne funksjon være lik integranden f. Om på den annen side F er et ubestemt integral (en antiderivert av f), vil vi ha at \[I = \int\limits_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = F(b) – F(a)\] Dette kalles analysens fundamentalteorem.
Den siste ligningen åpner muligheten for å beregne et areal ved bare først å utføre en antiderivasjon, dvs. finne det ubestemte integral F, og deretter finne differansen mellom F(b) og F(a). Tilsvarende metode kan brukes for andre «totaliteter» som volum, masse, arbeid og så videre.
Integralet definert som grensen for en uendelig sum slik som ovenfor, kalles ofte det riemannske integral (etter Bernhard Riemann), selv om denne ideen går tilbake til infinitesimalregningens første tid. Senere er det blitt innført andre og utvidede integralbegreper. Mest kjent er det såkalte Lebesgue-integral innført av den franske matematikeren Henri Lebesgue omkring år 1900. Dette integralbegrepet kan anvendes på en stor klasse funksjoner, og for de kontinuerlige funksjoner faller det sammen med det riemannske begrep (se målteori).
Definisjonen av et integral som grensen for en sum eller som flateinnholdet av en del av planet definert ved kurven y = f(x) kan utvides til rommet. Dette fører til dobbeltintegraler \[I = \iint F(x,y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\].
som på en lignende måte kan oppfattes som et volum definert ved flaten z = f(x,y) (i det minste hvis f også her er en positiv funksjon). Multiple integraler i høyere dimensjoner kan defineres på tilsvarende måte. Beregning av slike multiple integraler kan tilbakeføres til gjentatte enkle integralberegninger.
Kommentarer (1)
skrev Espen Løkseth
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.