resultant (matematikk)

Anta vi har to polynomer \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) og \(q(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0\). Om \(a_n\neq0\) og \(b_m\neq0\) har polynomene henholdsvis grad \(n\) og \(m\). Ifølge algebraens fundamentalteorem har polynomene nøyaktig \(n\) og \(m\) komplekse røtter eller nullpunkter. La oss betegne nullpunktene for \(p\) ved \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) og \(\beta_1,\dots,\beta_m\) for \(q\). I dette tilfellet er resultanten \[R=a_n^m b_m^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(\alpha_i-\beta_j).\]

Et konkret eksempel er følgende: La \(p(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)=x^2-(\alpha_1+\alpha_2)x+\alpha_1\alpha_2\) og \(q(x)=b_1(x-\beta_1)=b_1x-b_1\beta\). Her blir resultanten \[R=b_1^2(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_2-\beta_1).\]

Vi ser at om de to polynomene har et felles nullpunkt, blir resultanten null.

• algebra
• ligning