Fermats teorem

Fermat skrev teoremet i margen på sin utgave av Diofantos' verk, og han skrev også at han hadde et vidunderlig bevis, men at margen var for liten til å skrive det ned. Ettersom en rekke fremtredende matematikere har forsøkt å løse dette problemet, er det tvilsomt om Fermat faktisk hadde et gyldig bevis. Dette synspunktet blir støttet ved det at Fermat også ved andre anledninger kom med påstander som har vist seg å være feil.

Fermat beviste teoremet for n = 4. Man kan lett vise at det bare er nødvendig å bevise satsen for det tilfellet at n er et primtall. For n = 3 ble Fermats teorem bevist av Leonhard Euler, for n = 5 av Adrien Legendre og Peter Gustav Lejeune Dirichlet, og for n = 7 ble det bevist av Gabriel Lamé.

Det første gjennombruddet for moderne metoder kom i 1847. Den tyske matematikeren Ernst Eduard Kummer hadde utviklet den såkalte idealteorien, og han innså at denne teorien også kunne ha betydning for Fermats teorem. Han fant et kriterium som kunne benyttes for å avgjøre om teoremet gjelder for visse verdier av eksponenten n. I årene etter utviklingen av idealteorien fant man en rekke nye slike kriterier som viste at Fermats teorem var riktig for svært mange eksponenter.

Ved hjelp av datamaskiner greide man i 1976 å vise at Fermats sats gjelder for alle eksponenter hvor n er mindre enn eller lik 125 000. Det var likevel ingen grunn til å tro at man var kommet nærmere en generell løsning.

Den avgjørende utviklingen mot problemets løsning startet i 1985, da den tyske matematikeren Gerhard Frey (1944–) foreslo at Fermats siste teorem burde følge fra en velkjent antagelse om elliptiske kurver, det vil si kurver som kan beskrives med elliptiske funksjoner. Denne antagelsen ble kalt Taniyama-Shimura-formodningen og var riktignok heller ikke bevist, men Fermat-problemet hadde nå fått en helt ny angrepsvinkel, ved at metoder fra algebraisk geometri kunne tas i bruk.

Forbindelsen mellom Fermats siste teorem og elliptiske kurver oppstår ved at man antar at det finnes et moteksempel mot teoremet. Det vil si at det finnes hele tall a, b og c slik at abc ≠ 0 og aⁿ + bⁿ = cⁿ der n er et primtall større enn eller lik 5. Ligningen \(Y^2 = X(X + a^n)(X − b^n)\) beskriver da en såkalt Frey-kurve. Dette er elliptiske kurver av en spesiell type, som gjerne kalles semistabile.

Den endelige løsningen på problemet kom gjennom to faser. Først greide Kenneth Alan Ribet (1948–) å vise at Freys idé var korrekt. Han gjorde dette i 1986 ved å benytte resultater fra blant andre Jean-Pierre Serre. I praksis betød dette nå at problemet var redusert til å vise at Frey-kurver ikke kunne eksistere, slik at antagelsen ovenfor leder til en motsigelse.

I 1995 greide endelig briten Andrew Wiles ved Princeton-universitetet i USA å bevise at Taniyama-Shimura-formodningen var riktig for semistabile elliptiske kurver. Fermats siste teorem var dermed bevist, 358 år etter at Fermat formulerte det. Et viktig ledd i Wiles' bevis bestod i å begrense størrelsen på den såkalte Selmer-gruppen, som har sitt navn etter den norske matematikeren Ernst Sejersted Selmer.

Fermat-problemet er et eksempel på et teorem som ikke er så viktig i seg selv, men hvor metodene som ble utviklet for å løse det har hatt overordentlig stor betydning. Wiles uttrykte det slik: «Jeg tror han [Fermat] ville ha blitt forbauset over alt det hans bemerkning i margen har gjort for matematikkens historie.»

• matematikk
• Andrew John Wiles

• Singh, Simon (1998). Fermats siste sats : historien om gåten som forfulgte verdens skarpeste hjerner i 358 år, isbn 82-03-20304-3